ediriyanto: E.Konsep Fungsi Logaritma

FUNGSI LOGARITMA

DAN GRAFIK FUNGSI LOGARITMA

A. Pengertian Logaritma

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan atau invers dari eksponen atau pemangkatan.

Perhatikan hal berikut.

2³ = 8

3⁴ = 81

4² = 16

Jika ruas kiri dipertukarkan tempatnya dengan ruas kanan dan sebaliknya menjadi:

8 = 2³; 81 =3⁴ ; 16 = 4²

8 = 2³ dapat ditulis sebagai ²log 8 = 3

81 = 3⁴dapat ditulis sebagai ³log 81 = 4

16 = 4² dapat ditulis sebagai ⁴log 16 = 2

(²log 8 dibaca “logaritma dari 8 dengan bilangan pokok 2”)

Hal ini berarti mencari logaritma suatu bilangan positif b dengan bilangan pokok a sama dengan mencari pangkat dari b dalam bilangan pokok a tersebut.

Secara umum rumus dasar logaritma dapat ditulis:

^alog b = c

b = a^c

a disebut bilangan pokok (basis) logaritma, a > 0 , a ≠ 1, a є R

b disebut numerus, yaitu bilangan yang akan dicari logaritmanya, b > 0, b є R

c disebut hasil logaritma

B. Fungsi Logaritma

Apabila terdapat fungsi eksponen f yang memetakan bilangan real x ke a^x (ditulis f(x) = a^x, dengan a > 0 dan a ≠ 1), inversnya adalah fungsi logaritma g yang mengawankan bilangan real x ke ªlog x (ditulis g(x) = ªlog x).

Misalkan diketahui fungsi f(x) = 3^x dengan daerah asal (domain) D_f = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }. Hubungan antara x dengan f(x) = 3^x dapat dilihat dalam tabel berikut.

Tabel 1

X	-3	-2	-1	0	1	2	3
f(x) = 3^x	¹/₂₇	¹/₉	¹/₃	1	3	9	27

Pada tabel terlihat adanya korespondensi satu-satu antara x dan f(x) = 3^x. Sehingga dapat dikatakan bahwa fungsi eksponen f(x) = 3^x merupakan fungsi bijektif. Karena f(x) = 3^x merupakan fungsi bijektif, terdapat fungsi invers f^-1 yang memetakan setiap anggota {¹/₂₇, ¹/₉, ¹/₃, 1, 3, 9, 27} dengan tepat satu anggota {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} seperti diperlihatkan pada tabel berikut.

Tabel 2

f(x)= 3^x	¹/₂₇	¹/₉	¹/₃	1	3	9	27
*g(x)*	-3	-2	-1	0	1	2	3

Jika fungsi invers dari f(x) = 3^x disebut fungsi g(x). Dengan demikian, g(x) dapat ditentukan sebagai berikut.

y = f(x) = 3^x

log y = x log^x

log y = x log 3

x = ^{log y}

^{log 3}

x = ³log y

f^-1 (y) = ³log y

f^-1 (x) = ³log x

Jadi, invers dari f(x) = 3^x adalah g(x) = f^-1(x) = ³log x yang merupakan fungsi logaritma dengan bilangan pokok 3.

Berdasarkan uraian diatas, pengertian fungsi logaritma adalah suatu fungsi yang memetakan setiap x bilangan real dengan aturan g(x) = ^alog x, x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Contoh :

1. Diketahui f(x) = ⁵log x . Tentukan f(x) + f (⁵/_x)

1- 2 ⁵log x

Penyelesaian:

f (⁵/_x) = ⁵log ⁵/_x

1- 2 ⁵log ⁵/_x

= ⁵log 5 – ⁵log x

1- 2 (⁵log 5 – ⁵log x)

= 1 - ⁵log x
1 - 2 (1 – ⁵log x)

= 1 – ⁵log x
1 – 2 + 2 ⁵log x

= 1 – ⁵log x
-1 + 2 ⁵log x

f(x) + f(⁵/_x) = ⁵log x₊ 1 – ⁵log x

1- 2 ⁵log x-1 + 2 ⁵log x

= ⁵log x _ 1 + ⁵log x

1- 2 ⁵log x 1 - 2 ⁵log x

= -1 + 2 ⁵log x

- 2 ⁵log x

                              =   _    1- 2 ⁵log x
                                          1- 2 ⁵log x
                              = - 1

Dengan cara ringkas, dapat dikerjakan sebagai berikut. Karena pada fungsi logaritma berlaku f (^x/_y) = f(x) - f(y), maka f(x) + f(⁵/_x) = f(x) + f(5) - f(x)= f(5).

Jadi, f(x) + f(⁵/_x) = f(5) = ⁵log 5 = 1 = - 1

1- 2 ⁵log 5 1 – 2

2. Diketahui f(x) = ⁴log (x² - 8x + 16). Tentukan titik potong kurva fungsi f dengan : a. sumbu X b. sumbu Y

Penyelesaian:

a. Titik potong dengan sumbu X. Syaratnya f(x) = 0. Oleh karena itu,

f(x) = ⁴log (x² – 8x + 16)

0 = ⁴log (x² – 8x + 16)

⁴log (x² – 8x + 16) = ⁴log 1

x² – 8x + 16 = 1

x² – 8x + 15 = 0

(x – 5)(x – 3) = 0

x = 5 atau x = 3

Jadi, titik potongnya dengan sumbu X adalah (5, 0) dan (3, 0).

b. Titik potong dengan sumbu Y syaratnya, x = 0. Oleh karena itu,

f(x) = ⁴log (x² – 8x + 16)

= ⁴log (0² – 8(0) + 16)

= ⁴log 16

= ⁴log 4²

= 2

Jadi, titik potongnya dengan sumbu Y adalah (0, 2).

C. Grafik Fungsi Logaritma

Untuk menggambar grafik fungsi logaritma, dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut.

Langkah 1 : Buatlah tabel yang menghubungkan x dengan y = f(x) = ^alog x, yaitu dengan memilih beberapa nilai x sehingga y dapat ditentukan.

Langkah 2 : Gambarlah titik-titik (x, y) yang diperoleh dari langkah 1 pada bidang Cartesius, kemudian hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh grafik fungsi logaritma.

Dengan mengetahui bentuk grafik fungsi logaritma, kita dapat menentukan sifat-sifat fungsi logaritma tersebut.

1. Grafik Fungsi Logaritma dengan Basis a > 1

Contoh :

1. Gambarlah grafik fungsi y = f(x) = ²log x.

Penyelesaian:

Langkah 1 :

Tabel fungsi y = f(x) = ²log x adalah sebagai berikut.

Tabel 3

X	…	8	4	2	1	½	¼	⅛	…
f(x) = ²log x	…	3	2	1	0	-1	-2	-3	…

Langkah 2 :

Grafiknya adalah sebagai berikut.

y = ²log x

3 •

           0             2           4                        8                                      x

                                    Gambar 1

2. Gambarlah grafik fungsi y = f(x) = ³log x.

Penyelesaian:
Tabel fungsi y = f(x) = ³log x adalah sebagai berikut.

Tabel 4

X	…	9	3	1	¹/₃	¹/₉	¹/₂₇	…
f(x) = ³log x	…	2	1	0	-1	-2	-3	…

Grafiknya adalah sebagai berikut.
y

y = ³log x

0 1 3 9 x

Gambar 2

Dari Gambar 1 dan Gambar 2 tampak bahwa domain fungsi f(x) = ²log x dan fungsi f(x) = ³log x adalah himpunan bilangan real positif atau D_f = { x | x > 0, x є R }, sedangkan range-nya adalah himpunan bilangan real.

Dengan memperhatikan contoh di atas, tampak bahwa fungsi logaritma y = f(x) = ^alog x, dengan a > 1, merupakan fungsi naik karena untuk x₁ ≤ x₂ maka ^alog x₁ ≤ ^alog x₂. [1]

2. Grafik Fungsi Logaritma dengan Basis 0 < a < 1

Grafik fungsi logaritma dengan basis 0 < a < 1 dapat digambarkan dengan memilih beberapa nilai x sehingga nilai y = ^alog x dapat ditentukan. Kemudian, pasangan nilai tersebut digambar dalam diagram Cartesius dan dihubungkan dengan sebuah kurva mulus.

Contoh :

Gambarlah grafik fungsi logaritma y = f(x) = ^½log x.

Penyelesaian:

Buat tabel f(x) = ^½log x terlebih dahulu.

Tabel 5

X	…	⅛	¼	½	1	2	4	8	…
f(x) = ^½log x	…	3	2	1	0	-1	-2	-3	…

Dengan melukis pasangan koordinat titik-titik yang diperoleh pada tabel, lalu menghubungkannya dengan sebuah kurva mulus, kita dapatkan grafik fungsi f(x) = ^½log x seperti pada gambar berikut.

0 2 4 8 x

3 y = ^½log x Gambar 3

Dengan memperhatikan contoh di atas, tampak bahwa fungsi logaritma f(x) = ^alog x dengan 0 < a < 1 adalah fungsi turun karena x₁ ≤ x₂ maka ^alog x₁ ≥ ^alog x₂. [2]

Coba gambar grafik seperti contoh-contoh di atas, untuk fungsi

a. f(x) = ³log x c. f(x) = ^⅓log x;

b. f(x) = ⁴log x d. f(x) =^¼log x.

c. Pernahkah fungsi f(x) = ^alog x, untuk a > 1 merupakan fungsi turun? Dan pernahkah fungsi f(x) = ^alog x , untuk 0 < a < 1 menjadi fungsi naik?

3. Grafik Fungsi f(x) = ^alog x dan g(x) = ¹^/^alog x

Jika grafik y = f(x) = ²log x dan grafik fungsi y = g(x) = ^½log x digambarkan dalam satu bidang koordinat, gambar grafiknya adalah sebagai berikut.

3 y = ²log x

0 1 2 4 8 x

-3

y = ^½log x

Gambar 4

Dari gambar 4, dapat dikatakan bahwa:

a. Grafik fungsi logaritma f(x) = ^alog x dan g(x) = ¹^/^alog x simetri terhadap sumbu X. Hal ini berarti bahwa fungsi g(x) = ¹^/^alog x dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik f(x) = ^alog x terhadap sumbu X atau sebaliknya.

b. Grafik fungsi f(x) = ^alog x dan grafik fungsi g(x) = ¹^/^alog x melalui titik (1, 0).

c. Grafik fungsi f(x) = ^alog x dan grafik fungsi g(x) = ¹^/^alog x selalu barada di sebelah kanan sumbu Y.

d. Daerah asal kedua fungsi adalah himpunan bilangan real positif atau D = (0, ∞) dan daerah hasilnya adalah R = (-∞, ∞).

e. Fungsi f(x) = ^alog x merupakan fungsi naik dan fungsi g(x) = ¹^/^alog x merupakan fungsi turun.

f. Grafik fungsi f(x) = ^alog x dan grafik fungsi g(x) = ¹^/^alog x tidak pernah memotong sumbu Y, tetapi terus-menerus mendekatinya. Oleh karena itu, sumbu Y merupakan asimtot tegak bagi kedua grafik fungsi tersebut.[3]

4. Grafik Fungsi f(x) = a^x dan g(x) = ^alog x

Jika grafik fungsi y = f(x) = 2^x dan y = g(x) = ²log x, serta grafik y = f(x) = (¹/₂)^xdan y = g(x) = ^½log x digambarkan dalam satu bidang koordinat Cartesius, maka hasilnya adalah sebagai berikut.

► Grafik fungsi y = f(x) = 2^x dan y = g(x) = ²log x

Tabel 6

X	…	0	1	2	3	…
f(x) = 2^x	…	1	2	4	8	…

8 y = 2^x

y = x

y = ²log x

0 x

1 2 3 4 8

Gambar 5

► Grafik fungsi y = f(x) = (¹/₂)^xdan y = g(x) = ^½log x

Tabel 7

x	…	0	2	4	8	…
F(x) = (¹/₂)^x	…	1	-1	-2	-3	…

y = (¹/₂)^x

8 y = x

-3 -2 -1 1 2 4 8 x

-1

-2

-3

Gambar 6 y = ^½log x

Dengan memperhatikan contoh di atas, kita mendapatkan beberapa hal menarik tentang grafik fungsi eksponen f(x) = ax dan grafik fungsi logaritma g(x) = alog x sebagai berikut.

a. Grafik fungsi eksponen f(x) = a^x dan grafik fungsi logaritma g(x) = ^alog x simetri terhadap garis y = x. hal ini berarti bahwa grafik fungsi g(x) = ^alog x dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik f(x) = a^x terhadap garis y = x atau sebaliknya.

b. Fungsi eksponen f(x) = a^xmerupakan fungsi invers dari fungsi logaritma g(x) = ^alog x atau sebaliknya.

ediriyanto

Jumat, 25 November 2011

E.Konsep Fungsi Logaritma

Tidak ada komentar:

Posting Komentar